M.RIZKY PEBRIANSYAH

 IDENTITAS TRIGONOMETRI PENJUMLAHAN DAN SELISIH DUA SUDUT

[10.40, 6/8/2021] .: Pada materi ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut kemudian menggunakan rumus tersebut dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan jumlah dan selisih dua sudut.

Penguasaan materi perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku dan perbandingan trigonometri sudut berelasi akan sangat membantu dalam mempelajari materi ini.

Berikut beberapa sudut relasi yang digunakan :

sin (90° - θ) = cos θ

cos (90° - θ) = sin θ

sin (180° - θ) = cos θ

cos (180° - θ) = -sin θ

sin (-θ) = -sin θ

cos (-θ) = cos θ

sin (α + β) dan sin (α - β)

Diberikan sebuah lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik P terletak pada lingkaran sehingga OP = 1.

∠ POS = α + β

∠ QOT = ∠ OQR = ∠ QPR = α

Untuk lebih detailnya, perhatikan diagram berikut

Dari segitiga OPS diperoleh

sin (α + β) = PS

PS = RS + PR dan RS = QT, dapat kita tulis

PS = QT + PR, akibatnya

sin (α + β) = QT + PR     .........................(1)

Dari segitiga OPQ diperoleh

PQ = sin β

OQ = cos β

Dari segitiga OQT dipeoleh

sin α = QTOQQTOQ

QT = sin α . OQ

QT = sin α . cos β     ..............................(2)

Dari segitiga PQR diperoleh

cos α = PRPQPRPQ

PR = cos α . PQ

PR = cos α . sin β     ..............................(3)

Dari (1), (2) dan (3) kita dapatkan

sin (α + β) = QT + PR

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Jika β diganti dengan -β, maka

sin (α + (-β)) = sin α cos (-β) + cos α sin (-β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β + cos α (-sin β)

sin (α + (-β)) = sin α cos β - cos α sin β

Dari uraian diatas, kita peroleh rumus jumlah dan selisih dua sudut untuk fungsi sinus sebagai berikut :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

Contoh soal :

Nyatakan persamaan dibawah ini menjadi dalam bentuk hasil kali.

a. sin x + sin 3x

b. cos x - cos 3x

Jawaban :

a. sin x + sin 3x = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A - B)

                          = 2 sin ½ (x + 3x) cos ½ (x - 3x)

                          = 2 sin ½ (4x) cos ½ (-2x)

                          = 2 sin 2x cos (-x)

b. cos x - cos 3x = -2 sin ½ (A + B) sin ½ (A - B)

                           = -2 sin ½ (x + 3x) sin ½ (x - 3x)

                           = -2 sin ½ (4x) sin ½ (-2x)

                           = -2 sin 2x sin -x